Tekst /// Jens van der Weide Beeld /// Susanne de Visser
Hoe kan het dat we met een zelfbedacht systeem van cijfertjes, lettertjes en wat plusjes en minnetjes de wereld kunnen beschrijven? Waar komt de wiskunde vandaan? Het waren vragen die langskwamen in een dagdroom tijdens de wiskundeles op de middelbare school die voor de verandering wel een keer over wiskunde ging. Ik als wiskundescepticus – lees: verveelde scholier – vond het geniale vragen, en het gebrek aan geniale antwoorden gaf me des te meer reden om de wiskundelessen onzinnig te vinden. Ik kon toen natuurlijk niet weten dat ik die middag voor het eerst de wondere wereld van de filosofie van de wiskunde had betreden en dat ik het later nog leuk zou vinden ook.
De wiskundegemeenschap begin twintigste eeuw was in de ban van vergelijkbare vraagstukken, weliswaar in iets complexere vorm. Deze periode werd gekenmerkt door een grote hoeveelheid stromingen in de wiskunde, die allemaal een poging deden om dé theorie te zijn waarmee alles beschreven kon worden. De wiskunde werd steeds abstracter en complexer, maar in het uitdiepen van de theorieën werd ze ook paradoxaler en ongerijmder. De wereld van de wiskunde was zodanig versplinterd en vol van tegenstrijdigheden dat er een heuse ‘grondslagencrisis’ was ontstaan. De dappere wiskundige David Hilbert (1862-1943) startte een groot wiskundig project (het ‘Hilbertprogramma’) om duidelijkheid te scheppen over de fundamenten van de wiskunde.
Voor we in Hilberts ambitieuze project duiken, eerst een kleine crash course wiskundejargon. De wiskunde die je kent uit de wiskundeboeken van de middelbare school is in haar geheel een ‘formeel systeem’, een verzameling van stellingen en regels om nieuwe stellingen af te leiden. Een axioma is een basisstelling die dient als het eerste bouwsteentje van een wiskundig systeem. Met deze axioma’s kunnen nieuwe stellingen worden afgeleid om een formeel systeem uit te werken. Zo’n systeem is vervolgens volledig en consistent als het al zijn ware beweringen kan afleiden uit zijn axioma’s zonder op tegenstellingen te stuiten. Neem de basale stelling ‘0 is een getal’. Samen met de stelling ‘elk getal heeft een opvolger’ kan je de reeks van natuurlijke getallen bewijzen: 0, 1, 2, 3, enzovoorts. Neem de gehele verzameling van deze axioma’s (de axioma’s van Peano, voor de geïnteresseerden), de regels voor de rekenkunde (optellen en aftrekken, bijvoorbeeld), en een vrije zaterdag en je kunt je wiskundeboek grondvesten.
Hilbert zou geen genoegen hebben genomen met alleen middelbareschoolcalculus. Zijn plannen waren ambitieuzer. Vergelijkbaar met de Amsterdamse gemeente, die een grachtenpand redt door de fundering te herbouwen, was het Hilberts plan om alle wankele wiskunde voor eens en voor altijd te grondvesten op een ‘eindige en complete verzameling van consistente axioma’s’; een grondlaag van beweringen waarop alle wiskunde gebouwd kon worden en die het einde zou betekenen van de grondslagencrisis. Het was de student Kurt Gödel (1906-1978) die het project tot een knallend einde bracht met een ontdekking die de wiskundewereld op zijn kop zou zetten.
De kern van Hilberts zoektocht was de vraag of een formeel systeem volledig genoeg kan zijn om al zijn ware stellingen te bewijzen. Het vraagstuk hield Gödel in zijn greep en hij besloot zijn academische leven hierop te richten. De voortekenen van een grote ontdekking waren achteraf gezien al aanwezig: bijgenaamd ‘Herr Warum’, had Gödel zich – zoals een filosofisch wonderkind betaamt – het werk van Kant voor zijn twintigste eigen gemaakt om vervolgens in zijn 24e levensjaar te promoveren in de wiskunde. Kort na de promotie, in 1931, presenteerde Gödel zijn antwoord op Hilberts vraagstuk. In het essay met de vlotte titel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme stonden twee stellingen die tegenwoordig bekend staan als ‘Gödels onvolledigheidsstellingen’ – hun naam doet geen recht aan hun spectaculariteit. De eerste stelling luidt, in enigszins verteerbare vorm:
Elk consistent formeel systeem dat krachtig genoeg is om de rekenkunde van natuurlijke getallen te beschrijven, bevat een stelling die onbewijsbaar is.
De originele bewijzen zijn geschreven in zelfgecreëerde wiskunde, waarvan ik je de complexe details zal besparen. Toch kunnen we de elegantie illustreren met een bekender voorbeeld. Gödel maakte voor zijn bewijs ‘Gödelzinnen’ die naar zichzelf kunnen refereren. Zulke zelfrefererende zinnen kennen we in onze natuurlijke taal ook. Neem de volgende stelling, ook wel de ‘leugenaarsparadox’ genoemd: ‘deze zin is onwaar’. In de logische bewijsvoering van de zin stuit men op een paradox; als de zin waar is, is hij onwaar. Als de zin onwaar is, is hij waar. Je zou op een of andere manier de logica van onze natuurlijke taal moeten overstijgen om chocola te maken van wat er nou precies gezegd wordt. Gödel bewees dat in elk formeel systeem een wiskundige bewering af te leiden valt die vergelijkbaar is met de leugenaarsparadox.
De omvang en kracht van deze bevinding is moeilijk te onderschatten. De heersende gedachte was dat de wiskunde ooit feilloos zou kunnen worden, maar zij lijkt nu in kritieke toestand. De tweede stelling, afleidbaar uit de eerste, voelt als een soort natrap voor de al geblesseerde wiskunde:
Geen formeel systeem kan haar eigen consistentie bewijzen.
De paradoxale gebreken van de bestaande wiskunde zullen dus nooit aantoonbaar verholpen kunnen worden. Een paar opmerkingen over de bevindingen zijn hier op zijn plaats. De stellingen laten de legitimiteit en het nut van de bestaande wiskunde met rust; één plus één is gelukkig nog steeds twee en de stelling van Pythagoras klopt ook – de wiskundelessen zijn met Gödels bevindingen niet onzinnig verklaard. Wij kunnen immers nog prima communiceren ondanks dat we weten dat de leugenaarsparadox bestaat. De problemen komen pas naar voren als je een systeem wilt bedenken dat krachtig genoeg is om de gehele wereld te kunnen beschrijven. Laat dat nou net het project zijn van de wiskundigen van die tijd.
Het gevolg van Gödels peinzen was een nucleaire explosie in de wiskundegemeenschap. Gödels antwoord op Hilberts vraag of er een volledige verzameling van consistente axioma’s mogelijk is, was een resoluut ‘nee’. Het project om een allesomvattend wiskundig systeem te vinden zonk zoals de Titanic dat nog geen twintig jaar eerder had gedaan. Wat Gödels ontdekking nog interessanter maakt, is dat de explosie van de stellingen verder reikt dan alleen de wiskunde. De aangetoonde limieten van de wiskunde waren (en zijn) brandstof voor speculatie in andere gebieden van de filosofie, zoals de metafysica en de filosofie van de geest.
Parallel aan het demystificeren van de wiskunde liep nog een project: het onthullen van de geheimen van de mens. Hobbes (1588-1678) schrijft op de eerste pagina van zijn Leviathan (1651):
For what is the Heart, but a Spring; and the Nerves, but so many Strings; and the Joynts, but so many Wheeles, giving motion to the whole Body, such as was intended by the Artificer?
Hobbes was een van de bekendste aanhangers van het filosofisch mechanisme. Hoewel de stroming zijn nodige subdisciplines kent, is de algemene these binnen deze school dat de mens een machine is. Of, preciezer: dat alle aspecten van de mens verklaarbaar zijn in mechanische termen. De wiskundige en informaticus Alan Turing (1912-1954) deed hier nog een schepje bovenop met de uitvinding van het eerste computermodel: de Turingmachine. De mogelijkheid om het menselijk brein kunstmatig na te bootsen kwam ogenschijnlijk binnen theoretisch handbereik. Geheel in de geest van het mechanisme van de voorgaande eeuwen leek het zo gek nog niet dat het menselijk brein slechts een vlezige computer was, bestaande uit complexe maar berekenbare processen. Zolang we de algoritmische stappen volgen, kan ons brein niet ontsnappen aan het ‘net van de wiskundige beschrijving’.
De grenzen van de wiskunde, die dankzij de onvolledigheidsstellingen afgebakend waren, deden echter vermoeden dat het vangen van het menselijk brein met de wiskunde minder soepel zou gaan dan gedacht. De tot de verbeelding sprekende implicatie van de stellingen zou zijn dat het menselijk brein elk formeel systeem zou overstijgen. De anti-mechanisten zagen hun kans schoon om het niemandsland van onbewijsbare stellingen te gebruiken om moeilijk verklaarbare subjectieve fenomenen als bewustzijn, emoties en creativiteit te huisvesten.
Gödel heeft hier zelf ook uitspraken over gedaan. In de postuum uitgegeven Collected Works III: Unpublished Essays and Lectures (1995) staat een opmerking over een van Gödels colleges: ‘[Gödel] takes it that it follows that either the human mind surpasses the powers of a finite machine or there exist simple problems about the natural numbers not decidable by any proof the human mind can conceive’ (p.293). Verstopt in de onleesbare lesnotities staat een belangrijke of-of die volgens Gödel zelf uit de onvolledigheidsstellingen volgt. Óf ons brein stijgt boven alle computers uit en een computer zal zich, andersom, nooit kunnen afmeten aan de mens, óf er bestaan onoplosbare (wiskundige) problemen. Het eerste alternatief zou een significante ontdekking in de filosofie van de geest betekenen, terwijl het tweede alternatief metafysische implicaties heeft: als er onoplosbare wiskunde bestaat, moeten wiskundige entiteiten wel buiten de menselijke geest bestaan. De schepper kent immers alle eigenschappen van zijn creaties, redeneert Gödel.
De anti-mechanisten zagen hun kans schoon om het niemandsland van onbewijsbare stellingen te gebruiken om moeilijk verklaarbare subjectieve fenomenen als bewustzijn, emoties en creativiteit te huisvesten
In een enigszins creatieve lezing lijken de onvolledigheidsstellingen ruimte te geven voor processen in het brein die onbewijsbaar zijn voor de wiskunde en daarom niet nagebootst kunnen worden met een computer. In de tweede helft van de twintigste eeuw waren het de filosoof John Lucas en wiskundige Roger Penrose die het werk van Gödel gebruikten om de onwaarheid van het filosofisch mechanisme te onderbouwen. Lucas maakte in zijn essay Minds, Machines, and Gödel (1961) de beruchte claim:
Given any machine which is consistent and capable of doing simple arithmetic, there is a formula it is incapable of producing as being true […] but which we can see to be true. (p.1)
Penrose onderschrijft de ideeën van Lucas en doet een poging om een andere verklaring te geven. Hij stelt dat de klassieke natuurkunde niet in staat is om het menselijk bewustzijn te verklaren. De processen in het menselijk brein gaan verder dan het opvolgen van algoritmische regeltjes. Penrose betrad de controversiële wereld van het ‘quantumbrein’ door te stellen dat het menselijk brein in staat is fenomenen uit de quantumnatuurkunde — anders dan klassieke natuurkunde is dit op schaal van atomen — te gebruiken voor iets als het bewustzijn. Penrose’s veelal beschimpte theorieën over de menselijke geest berusten op de uitgangspunten van Gödels onvolledigheidsstellingen.
Elke anti kent weer zijn eigen anti. Het anti-materialisme van Penrose en Lukas kreeg dan ook zijn onvermijdelijke kritiek. De breed gedragen consensus is dat het gebruik van Gödels stellingen in de filosofie van de geest op zijn best voorbarig is. Filosoof Panu Raatikainen duidt de zere plek in het essay On the Philosophical Relevance of Gödel’s Incompleteness Theorems (2005). Het anti-mechanistische argument, zoals dat van Lucas hierboven, berust op de aanname dat ons brein altijd kan zien of een bedacht formeel systeem consistent is (en daarmee dus altijd krachtiger zal zijn dan een computer). Dit lijkt echter hoogst onwaarschijnlijk, simpelweg vanwege het feit dat de mens genoeg gebrekkige theorieën heeft voortgebracht en dus niet altijd kan zien of een formeel systeem consistent is. Gödels onvolledigheidsstellingen zijn niet toe te passen op een feilbaar brein.
De breed gedragen consensus is dat het gebruik van Gödels stellingen in de filosofie van de geest op zijn best voorbarig is en wordt doorgaans ook tussen dikgedrukte aanhalingstekens gezet
De explosie van Gödels onvolledigheidsstellingen laat zien dat het vatten van de gehele werkelijkheid in de wiskunde nog een moeilijke en misschien wel onmogelijke opgave gaat zijn. Dat is echter nog geen vrijbrief om de krater op te vullen met voorbarige conclusies over ons magische brein. We zullen heel wat ambitieuze wiskundigen, Kant-beheersende – of verveelde – tienergenieën en controversiële filosofen verder zijn voordat die magie ontrafeld is.
Babel Magazine 